中1物理【*凸レンズの写像公式】


*このページは発展的な内容を含みます。

少なくとも中3数学「図形の相似」の知識を用います。

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1.写像公式

■写像公式

以下の図において次の公式が成り立つ。

$$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{f}$$

ただしb<0のときは虚像ができていることを表す。

 

また像の大きさを以下のように求めることができる。

$$像の大きさ=\frac{b}{a}×物体の大きさ$$

 

 

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2.写像公式の証明

前項の公式の証明をしてみましょう。

上図の中には三角形がいくつかあります。

うち下の図のような三角形を考えます。

赤い三角形どうしは相似です。(2組の角がそれぞれ等しい)

つまり△OAB∽△OCD

 

この相似比は

BO:DO=a:b

 

よって対応する辺であるABとCDの比も

AB:CD=a:b

となります。

 

 

次に下図の三角形を考えます。

黄色の三角形どうしは相似です。

つまり△EOF∽△CDF

 

この相似比は

OF:DF=f:b‐f

 

よって対応する辺であるEOとCDの比も

EO:CD=f:b‐f

となります。

 

ここでEO=ABであることに着目。

AB:CD=a:b

EO:CD=AB:CD=f:b‐f

より

a:b=f:b‐f

という式が導き出されます。

 

内項の積と外項の積は等しいので

$$b×f=a×(b-f)$$

$$bf=ab-af$$

 

両辺をabfで割ると

$$\frac{bf}{abf}=\frac{ab}{abf}-\frac{af}{abf}$$

$$\frac{1}{a}=\frac{1}{f}-\frac{1}{b}$$

 

よって最初に紹介した式、

$$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{f}$$

となります。

 

この公式を覚えておくと便利ですが、何より重要なのは相似な三角形が隠されていることに気づくということです。

 

凸レンズの応用問題は相似に帰着する問題が多いです。

ヒントとして「相似に注目する」ということを覚えておきましょう。

 

POINT!!

・レンズの公式↓を知っておくと便利。

$$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{f}$$

・凸レンズの応用問題は「三角形の相似」を意識しよう。

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