中2物理【*合成抵抗の公式の導き方】

このページでは合成抵抗の公式がどのように導かれるかを解説しています。

動画による解説は↓↓↓

https://youtu.be/ac8qwY7aZR8

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合成抵抗の使い方などは→【合成抵抗の使い方】←を参考に。

やや発展的な内容です。

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1.合成抵抗の求め方

■合成抵抗の公式

直列回路の合成抵抗は、抵抗の和に等しい。(↓の図)

並列回路の合成抵抗は、抵抗どうしの積÷和(積/和)に等しい。(↓の図)

このページではなぜ合成抵抗が↑のようにして求められるのか解説します。

 

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2.合成抵抗の公式を導く

直列回路の場合

↓の左図の2つの抵抗器をまとめて(合成して)、右図のような回路にします。

したがって左右の電源の電圧は同じです。また回路全体に流れる電流も同じです。

そこで回路全体に流れる電流をI(A)とします。(↓の図)

オームの法則よりR1(Ω)の抵抗器に加わる電圧は

$$電圧=抵抗×電流=R_1(Ω)×I(A)=R_1I(V)$$

 

R2(Ω)の抵抗器に加わる電圧は

$$電圧=抵抗×電流=R_2(Ω)×I(A)=R_2I(V)$$

 

よって左の回路の電源電圧は

$$R_1I+R_2I(V)・・・①$$

と表されます。(↓の図)

一方で右の回路のR(Ω)の抵抗器に加わる電圧は

$$電圧=抵抗×電流=R(Ω)×I(A)=RI(V)$$

 

よって右の回路の電源電圧も

$$RI(V)・・・②$$

となります。(↓の図)

①と②は等しいので

$$R_1I+R_2I=RI$$

 

この式の両辺をIで割って(Iを消去)

$$R_1+R_2=R$$

 

したがって左の回路の抵抗の和=右の回路の抵抗となります。

すなわち直列の合成抵抗=各抵抗器の和となるといえます。

 

並列の場合

↓の左図の2つの抵抗器をまとめて(合成して)、右図のような回路にします。

したがって左右の電源の電圧は同じです。また回路全体に流れる電流も同じです。

そこで電源の電圧をE(V)とします。(↓の図)

オームの法則より、左の回路のR1(Ω)の抵抗器に流れる電流は

$$電流=\frac{電圧}{抵抗}=\frac{E}{R_1}(A)$$

 

左の回路のR2(Ω)の抵抗器に流れる電流は

$$電流=\frac{電圧}{抵抗}=\frac{E}{R_2}(A)$$

 

したがって回路全体に流れる電流は

$$\frac{E}{R_1}+\frac{E}{R_2}(A)・・・①$$

となります。(↓の図)

一方で右の回路のR(Ω)の抵抗器に流れる電流は

$$電流=\frac{電圧}{抵抗}=\frac{E}{R}(A)・・・②$$

となります。(↓の図)

①と②は等しいので

$$\frac{E}{R_1}+\frac{E}{R_2}=\frac{E}{R}$$

 

両辺をEで割って

$$\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}=\frac{1}{R}$$

 

左辺をR1R2に通分して

$$\frac{R_1+R_2}{R_1R_2}=\frac{1}{R}$$

 

両辺の分母と分子を入れかえて

$$\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}=R$$

 

この式は

$$R=\frac{R_1とR_2の積}{R_1とR_2の和}$$

となっています。

 

以上にようにして合成抵抗の公式は求めることができます。

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小中高生に数・理を教えている関西の現役塾講師です。
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