中2物理【電熱線の長さと断面積】

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1.電熱線の長さと抵抗の関係

ある材質Xでできた電熱線があります。
この電熱線は
断面積1cm2・長さ100cmで20Ωの抵抗
をもっています。(↓の図)

では同じ材質Xを用いて
断面積1cm2・長さ200cmの電熱線
をつくりました。

この電熱線の抵抗はどうなるか・・・

→【電流と電圧】←→【オームの法則】←で説明していますが
電流にとって電熱線というのは障害物です。
(抵抗・・・電流の通りにくさを表す数値)

ということは
電熱線が長くなる

電流はより長い距離の障害物を通らなければならない

電流は流れにくい=抵抗は大きくなる
と考えられます。

具体的には
抵抗の大きさは電熱線の長さに比例します。

つまり電熱線の長さが2倍・3倍・4倍・・・になると、その抵抗も2倍・3倍・4倍・・・になるということです。

よって電熱線の抵抗の大きさは
$$20Ω×2=40Ω$$
となります。

2.電熱線の長さと断面積の関係

先ほどと同じ、ある材質Xでできた電熱線があります。
この電熱線は
断面積1cm2・長さ100cmで20Ωの抵抗
をもっています。(さっきとまったく同じ条件)

では次にこの材質Xを使って
断面積2cm2・長さが100cmの電熱線
をつくりました。

この電熱線の抵抗は・・・

電熱線の断面積が大きくなりました。
つまり電熱線が太くなったわけです。

電熱線が太くなった

電流が一度にたくさん流れることができる

電流が流れやすい=抵抗は小さくなる
と考えられます。

具体的には
抵抗の大きさは電熱線の断面積に反比例します。

つまり電熱線の断面積が2倍・3倍・4倍・・・になると、その抵抗は1/2倍・1/3倍・1/4倍・・・になるということです。

よってこの電熱線の抵抗の大きさは
$$20Ω×\frac{1}{2}=10Ω$$
となります。

3.断面積と長さ

■電熱線の長さと抵抗の関係
長さが2倍・3倍・4倍・・・になると抵抗も2倍・3倍・4倍・・・となる。
抵抗は長さに比例する。

■電熱線の断面積と抵抗の関係
断面積が2倍・3倍・4倍・・・になると、その抵抗は1/2倍・1/3倍・1/4倍・・・になる。
抵抗は断面積に反比例する。

例題1

先ほどの材質Xを使って
断面積4cm2・長さ240cmの電熱線P
をつくった。


この電熱線Qの抵抗はいくらか。


(答)
もとの条件として、この電熱線は
断面積1cm2・長さ100cmで20Ωの抵抗
をもっていました。

電熱線Pは、もとの条件から
長さが2.4倍
断面積が4倍
です。

ということは
$$長さによって抵抗は2.4倍$$
$$断面積によって抵抗は\frac{1}{4}倍$$
になることがわかります。

よって求める抵抗の値は
$$20Ω×2.4×\frac{1}{4}=12Ω$$
とわかります。

例題2

先ほどの材質Xを使って
断面積0.8cm2・長さ40cmの電熱線Q
をつくった。

この電熱線Qの抵抗はいくらか。


(答)
もとの条件として、この電熱線は
断面積1cm2・長さ100cmで20Ωの抵抗
をもっていました。

電熱線Qは、もとの条件から
長さが0.4倍
断面積が0.8倍
です。
0.8を小数に直しておきましょう。
$$0.8=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$$

ということは
$$長さによって抵抗は0.6倍に$$
$$断面積によって抵抗は\frac{5}{4}倍に$$
なることがわかります。

よって求める抵抗の値は
$$20Ω×0.6×\frac{5}{4}=15Ω$$
とわかります。

*ここからはやや発展的な内容を含みます。

4.*断面積・ちょっと応用

先ほどから登場している材質X。
この材質Xをつかって円柱形をした電熱線をつくったとします。
↓の図のように、断面の半径が5mm・長さ100cmの電熱線です。

この電熱線の抵抗が20Ωであったとします。

では同じ材質Xをつかって
断面の半径が10mm・長さが100cmの円柱形の電熱線R
をつくったとしましょう。

電熱線Rの断面の半径はもとの2倍です。
ということは、断面積は22=4倍です。
そのため抵抗は1/4倍になっているはずです。
(抵抗は、断面の半径の2乗に反比例する)

よって求める抵抗は
$$20Ω×\frac{1}{2^2}=20Ω×\frac{1}{4}=5Ω$$
となります。

断面積と断面の半径では考え方が少し異なるので要注意。
問題文をよく読むようにしましょう。

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